Question

16．已知函数y=a^x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则$\frac{4}{a-1}+\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 函数y=a^x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），可得a＞1，3=a+b．于是$\frac{4}{a-1}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（a-1+b）$（\frac{4}{a-1}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{2}$$（5+\frac{4b}{a-1}+\frac{a-1}{b}）$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵函数y=a^x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），
∴a＞1，3=a+b．
∴$\frac{4}{a-1}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（a-1+b）$（\frac{4}{a-1}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{2}$$（5+\frac{4b}{a-1}+\frac{a-1}{b}）$≥$\frac{1}{2}$$（5+2\sqrt{\frac{4b}{a-1}×\frac{a-1}{b}}）$=$\frac{9}{2}$，当且仅当a=$\frac{7}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时取等号．
故答案为：$\frac{9}{2}$

点评 本题考查了基本不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．