Question

9．已知定义域为[a-1，2a+1]的奇函数f（x）=x³+（b-1）x²+x，则f（2x-b）+f（x）≥0的解集为（　　）

• A． [1，3]
• B． $[\frac{1}{3}，2]$
• C． [1，2]
• D． $[\frac{1}{3}，1]$

Answer 1

分析 根据题意，由函数为奇函数可得（a-1）+（2a+1）=0且f（-x）+f（x）=0，分析可得a、b的值，即可得函数f（x）的解析式，由此分析可得函数f（x）为增函数，由此可以将f（2x-b）+f（x）≥0转化为f（2x-1）≥f（-x），由函数的定义域以及单调性可得$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2x-1≤1}\\{-1≤-x≤1}\\{2x-1≥-x}\end{array}\right.$，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，定义域为[a-1，2a+1]的奇函数f（x）=x³+（b-1）x²+x，
则有（a-1）+（2a+1）=0，解可得a=0，
且f（-x）+f（x）=[x³+（b-1）x²+x]+[（-x）³+（b-1）（-x）²+（-x）]=0，解可得b=1，
即函数f（x）=x³+x，
则有f′（x）=3x²+1＞0，即函数在其定义域[-1，1]上为增函数，
f（2x-b）+f（x）≥0⇒f（2x-1）≥-f（x）⇒f（2x-1）≥f（-x），
则有$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2x-1≤1}\\{-1≤-x≤1}\\{2x-1≥-x}\end{array}\right.$，解可得$\frac{1}{3}$≤x≤1，
即f（2x-b）+f（x）≥0的解集为[$\frac{1}{3}$，1]；
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a、b的值．