Question

已知直线l₁：x+a²y+1=0、l₂：（a²+1）x-by+3=0（a，b∈R）
（Ⅰ）若l₁∥l₂，求b的取值范围；
（Ⅱ）若l₁⊥l₂，求|ab|的最小值．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的平行关系,直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）通过l₁∥l₂，斜率相等，截距不相等，推出关系式，然后求b的取值范围；
（Ⅱ）利用l₁⊥l₂，得到ab=a+

1

a

，然后利用基本不等式求|ab|的最小值．

解答： 解：（1）∵l₁∥l₂∴k₁=k₂且b₁≠b₂
∴-

1

a2

=

a2+1

b

  且  -

1

a2

≠

3

b

（a²≠0，b≠0）
∴b=-a⁴-a²  且  b≠-6
此时  b＜0且b≠-6
若a²=0
则l₁：x+1=0、l₂：x-by+3=0  
此时b=0
综上  b∈（-∞，-6）∪（-6，0]
（2）依题意    （a²+1）×1=-1×a2×（-b）
∴a²+1=a²b，∴ab=a+

1

a

，
又∵|ab|＞0
当且仅当a=

1

a

即a=1时等号成立
∴a+

1

a

≥2

1

=2．
∴|ab|≥1，∴|ab|_min=2

点评：本题考查直线与直线的平行与垂直，基本不等式的应用，考查计算能力．