Question

6．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列；
（2）设b_n=$\frac{{2}^{2n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由数列的递推式可得a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化简整理，由等差数列的定义即可得证；
（2）运用等差数列的通项公式，化简整理可得b_n=$\frac{{2}^{2n+1}}{（n+1）（n+2）•{2}^{n}•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．①
可得a₁=S₁=2a₁-4，解得a₁=4，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ．②
①-②可得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ⁺¹+2ⁿ，
则a_n=2a_n-1+2ⁿ，
可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$+1，
则数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项为2，公差为1的等差数列；
（2）由（1）可得a_n=2ⁿ（2+n-1）=（n+1）2ⁿ，
b_n=$\frac{{2}^{2n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{2n+1}}{（n+1）（n+2）•{2}^{n}•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
则数列{b_n}的前n项和为$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查裂项相消求和，以及运算能力，属于中档题．