Question

设a∈R，满足sinα+sin²α=1，求下面各式的值：
（1）cos²α+cos⁴α；
（2）cos²α+cos⁶α
（3）cos²α+cos⁶α+cos⁸α

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）直接利用已知条件结合同角三角函数的基本关系式求出sinα=cos²α．即可化简求值．
（2）求出sinα的值，利用已知条件以及sinα=cos²α化简求解即可．
（3）利用sinα=cos²α．化简表达式为正弦函数的形式，利用sinα+sin²α=1求解即可．

解答： 解：∵sinα+sin²α=1，又cos²α+sin²α=1，∴sinα=cos²α，
（1）cos²α+cos⁴α=cos²α+sin²α=1；
（2）sinα+sin²α=1，解得sinα=

5 -1

2

cos²α+cos⁶α=sinα+sin³α=

5 -1

2

(1+(

5 -1

2

)2)=

5 -1

2

×

5- 5

2

=

3 5 -5

2

．
（3）cos²α+cos⁶α+cos⁸α=sinα+sin³α+sin⁴α=sinα+sin²α（sinα+sin²α）
=sinα+sin²α
=1．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数的化简求值，考查计算能力．