Question

已知数列{a_n}，S_n为其前n项和，且满足S_n=3（1-a_n），数列{b_n}满足：b₁=

32

7

，b_n=4^n-1-3b_n-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明数列{b_n}不是等比数列；
（3）设c_n=

bn

4n

-

1

7

，d_n=3c_n²-4a_n，求数列{d_n}的最小项的值．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由S_n=3（1-a_n）得S_n-1=3-3a_n-1（n≥2），利用递推公式可得S_n-S_n-1=a_n=-3a_n+3a_n-1可求
（2）由b_n=4^n-1-3b_n-1，分别求出b₁，b₂，b₃，即可证明
（3）由b_n=4^n-1-3b_n-1，可得数列{c_n}为等比数列，首项为1，公比q=-

3

4

，再求出d_n，利用函数的单调性即可求出最值

解答： 解：（1）S_n=3（1-a_n）得S_n-1=3-3a_n-1（n≥2）
则S_n-S_n-1=a_n=-3a_n+3a_n-1
∴a_n=

3

4

a_n-1
当n=1时，S₁=3-3a₁=a₁
∴a₁=

3

4

∴{a_n}为等比数列，且a₁=

3

4

，q=

3

4

∴a_n=(

3

4

)n
（2）由b_n=4^n-1-3b_n-1（n≥2），b₁=

32

7

，
∴b₂=4-3b₁=-

68

7

，b₃=4²-3b₂=

336

7

，
∵

68

7

×

68

7

≠

32

7

×

336

7

，
∴数列{b_n}不是等比数列；
（3）由b_n=4^n-1-3b_n-1（n≥2），
得

bn

4n

=-

3

4

•

bn-1

4n-1

+

1

4

，
设e_n=

bn

4n

，
∴e_n=-

3

4

e_n-1+

1

4

（n≥2），
∴c_n=e_n-

1

7

=-

3

4

（e_n-1-

1

7

），（n≥2），
∴数列{c_n}为等比数列，首项为e₁-

1

7

=

b1

4

-

1

7

=1，公比q=-

3

4

，
∴c_n=(-

3

4

)n-1
∵d_n=3c_n²-4a_n，
∴d_n=3[(-

3

4

)n-1]²-4•(

3

4

)n=3[(

3

4

)n-1-

1

2

]²-

3

4

，
令u=(

3

4

)n-1＞0，
则当0＜u≤

1

2

时，d_n为减函数，

1

2

＜u≤1时，d_n为增函数
又当n=2时，|(

3

4

)2-1-

1

2

|=

1

4

n=3时，|(

3

4

)3-1-

1

2

|=

1

16

，
n=4时，|(

3

4

)4-1-

1

2

|=

5

64

而

1

4

＞

5

64

＞

4

64

∴n=3时，|(

3

4

)n-1-

1

2

|最小，
∴数列{d_n}的最小项的值为

1

16

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求 数列的通项公式，构造特殊数列（等差，等比数列）求解数列的通项公式，利用数列的单调性求解数列 的最大（小）项，属于数列知识的综合应用，要求考生具备一定的应用知识分析问题，解决问题的能力，属于难题