Question

7．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）当PD=2AB，且E为PB的中点，求二面角B-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥底面ABCD，可得PD⊥AC，利用正方形的性质可得：AC⊥BD，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．
（2）分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式即可得出．

解答 （1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面ABCD，
又AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（2）解：分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，4），E（1，1，2），
$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，1，2），
取平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（0，0，1）$，
设平面ABE的法向量$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，0，1）．
∴$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角B-AE-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、线面面面垂直的判定与性质定理、空间角、向量夹角公式、法向量的应用、正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．