Question

19．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0时}\\{|x+\frac{2}{x}|，x≠0时}\end{array}\right.$，则有关x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个不等实根的充分条件是（　　）

• A． b＜-2$\sqrt{2}$且c＞0
• B． b＜-2$\sqrt{2}$且c＜0
• C． b＜-2$\sqrt{2}$且c=0
• D． b≥-2$\sqrt{2}$且c=0

Answer 1

分析 利用基本不等式得出方程f（x）=t的解的情况，从而得出方程t²+bt+c=0的解的范围，使用根与系数的关系得出b，c的范围．

解答 解：∵|x+$\frac{2}{x}$|=|x|+|$\frac{2}{x}$|≥2$\sqrt{2}$，
∴当t$＞2\sqrt{2}$时，f（x）=t有四个解，
当t=2$\sqrt{2}$时，f（x）=t有两个解，
当t=0时，f（x）=0只有一解．
设f（x）=t，
∵f²（x）+bf（x）+c=0有5个不等实根，
∴t²+bt+c=0的一个解为0，另一个解在区间（2$\sqrt{2}$，+∞）上．
∴c=0，
根据根与系数的关系可知0-b$＞2\sqrt{2}$，
∴b＜-2$\sqrt{2}$．
故选C．

点评 本题考查了函数的值域，函数零点的个数判断，属于中档题．