Question

已知函数f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，且f（

α

2

）=

1

3

，f（

β

2

）=

2

3

，求sin（α-β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用二倍角公式化简函数解析式为f（x）=cos2x，令2kπ-π≤2x≤2kπ，求得x的范围，可得函数的增区间；令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得x的范围，可得函数的减区间．
（2）由f（

α

2

）=

1

3

，f（

β

2

）=

2

3

，可得 cosα=

1

3

，cosβ=

2

3

．再结合α、β的范围，可得 sinα 和sinβ 的值，再根据sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，计算求得结果．

解答： 解：（1）函数f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos²x-sin²x=cos2x，
令2kπ-π≤2x≤2kπ，求得kπ-

π

2

≤x≤kπ，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-

π

2

，kπ]，k∈z．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈z，
故函数的减区间为[kπ，kπ+

π

2

]，k∈z．
（2）由f（

α

2

）=

1

3

，f（

β

2

）=

2

3

，可得 cosα=

1

3

，cosβ=

2

3

．
再结合 0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，可得 sinα=

2 2

3

，sinβ=

5

3

，
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=

2 2

3

×

2

3

-

1

3

×

5

3

=

4 2 - 5

9

．

点评：本题主要考查二倍角公式、余弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，属于中档题．