Question

16．已知F₁为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦点，过F₁的直线l与椭圆交于两点P，Q．
（Ⅰ）若直线l的倾斜角为45°，求|PQ|；
（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），点P关于原点的对称点为P′，点Q关于x轴的对称点为Q′，P′Q′所在直线的斜率为k′．若|k′|=2，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的倾斜角为45°，直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得|PQ|；
（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得丨k′丨=丨$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$丨=丨$\frac{3\sqrt{1+{k}^{2}}}{2k}$丨=2，即可求得k的值．

解答 解：（Ⅰ）椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
椭圆的左焦点F₁（-1，0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的方程为y=x+1，…（1分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，整理得：7x²+8x-8=0，…（3分）
则x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁•x₂=-$\frac{8}{7}$．…（4分）
丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{8}{7}）^{2}+4×\frac{8}{7}}$=$\frac{24}{7}$，
∴|PQ|=$\frac{24}{7}$；…（5分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，…（6分）
则x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，…（8分）
依题意P′（-x₁，-y₁），Q′（x₂，-y₂），且y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
∴丨k′丨=丨$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$丨=丨$\frac{k（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$丨，…（10分）
其中丨x₁-x₂丨=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，…（11分）
∴丨k′丨=丨$\frac{3\sqrt{1+{k}^{2}}}{2k}$丨=2．…（12分）
解得：7k²=9，k=±$\frac{3}{7}$$\sqrt{7}$，
k的值±$\frac{3}{7}$$\sqrt{7}$．．…（13分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．