Question

11．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AD，BD₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD，BD₁所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{AD}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），
设异面直线AD，BD₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{B{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{B{D}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴异面直线AD，BD₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．