Question

7．已知圆M过点A（0，$\sqrt{3}$），B（1，0），C（-3，0）．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D、E两点，且|DE|=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系数法，求圆M的方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用|DE|=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）设圆M：x²+y²+Dx+Ey+F=0，则$\left\{\begin{array}{l}{3+\sqrt{3}E+F=0}\\{1+D+F=0}\\{9-3D+F=0}\end{array}\right.$，∴D=2，E=0，F=-3
…（3分）
故圆M：x²+y²+2x-3=0，即（x+1）²+y²=4…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，M（-1，0）．
设N为DE中点，则MN⊥l，|DN|=|EN|=$\sqrt{3}$…（5分）
此时|MN|=$\sqrt{4-3}$=1．…（6分）
当l的斜率不存在时，c=0，此时|MN|=1，符合题意  …（7分）
当l的斜率存在时，设l：y=kx+2，由题意$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，…（8分）
解得：k=$\frac{3}{4}$，…（9分）
故直线l的方程为3x-4y+8=0…（10分）
综上直线l的方程为x=0或3x-4y+8=0

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．