Question

12．已知函数f（x）=|2x-a|-|x-1|．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）存在x∈[0，2]时，使得不等式f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=|2x-1|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x＜\frac{1}{2}}\\{3x-2，\frac{1}{2}≤x≤1}\\{x，x＞1}\end{array}\right.$，利用函数的单调性，即可求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）≤0，可化为（3x-a-1）（x-a+1）≤0，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=|2x-1|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x＜\frac{1}{2}}\\{3x-2，\frac{1}{2}≤x≤1}\\{x，x＞1}\end{array}\right.$．
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$]上单调递减，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，
∴x=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最小值-$\frac{1}{2}$；
（2）不等式f（x）≤0，可化为（3x-a-1）（x-a+1）≤0．
a=2时，f（x）≤0，即x=1∈[0，2]，符合题意；
a＜2时，a-1＜$\frac{a+1}{3}$，f（x）≤0的解集为[a-1，$\frac{a+1}{3}$]，
∴[a-1，$\frac{a+1}{3}$]∩[0，2]≠∅，
∴a-1≤2且$\frac{a+1}{3}$≥0，
∴-1≤a＜2；
a＞2时，a-1＞$\frac{a+1}{3}$，f（x）≤0的解集为[$\frac{a+1}{3}$，a-1]，
∴[$\frac{a+1}{3}$，a-1]∩[0，2]≠∅，
∴a-1≥0且$\frac{a+1}{3}$≤2，
∴2＜a≤5；
综上所述-1≤a≤5．

点评 本题考查绝对值不等式，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．