Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，且PD=AB．
（1）点M是PC的中点，求证：PA∥平面MBD；
（2）求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC交BD于点O，由MO∥PA，又MO?面MBD，PA?面MBD，即可证明PA∥面MBC．
（2）由PD⊥面ABCD，可知PD⊥BC，又BC⊥CD，可证面PBC⊥面PDC，PC为交线，又在等腰直角△PDC中，有DM⊥PC，可知DM⊥面PBC，在Rt△PDC中，根据PD，DC即可求DM的值．

解答： 证明：（1）连接AC交BD于点O，
在△PAC中，MO是中位线，
∴MO∥PA，
又MO?面MBD，PA?面MBD，
∴PA∥面MBC．

（2）∵PD⊥面ABCD，
∴PD⊥BC，
又BC⊥CD，PD∩CD=D，
∴BC⊥面PDC，又BC?面PBC，
∴面PBC⊥面PDC，PC为交线，
又在等腰直角△PDC中，有DM⊥PC，
∴DM⊥面PBC，
∴DM即为所求距离，
在Rt△PDC中，PD=2，DC=2，故DM=

2

，
即点D到平面PBC的距离等于

2

．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．