题目内容

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一个纵坐标为2的点到焦点F的距离为3． 
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设点P（0，2），过P作直线l1，l2分别交抛物线于点A，B和点M，N，直线l1，l2的斜率分别为k1和k2，且k1k2=-
3
4
．写出线段AB的长|AB|关于k1的函数表达式，并求四边形AMBN面积S的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）由已知条件推导出2-(-
p
2
)=3，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），l1：y=k1x+2，与抛物线x2=4y联立得x2-4k1x-8=0，由此利用韦达定理结合函数的单调性能求出四边形AMBN面积的最小值．
解答： （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）∵抛物线C：x2=2py（p＞0）上一个纵坐标为2的点到焦点F的距离为3，
∴2-(-
p
2
)=3，解得p=2，
∴抛物线C的方程为x2=4y．…（5分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），
l1：y=k1x+2，与抛物线x2=4y联立可得x2-4k1x-8=0，
∴
x1+x2=4k1
x1x2=-8
，
|AB|=
1+
k
2
1
|x1-x2|=4
(1+
k
2
1
)(
k
2
1
+2)
，k1∈R且k1≠0．…（10分）
设点M，N到直线l1的距离分别为h1和h2，h1+h2=
|k1x3-y3+2|
1+
k
2
1
+
|k1x4-y4+2|
1+
k
2
1
=
|(k1x3-y3)-(k1x4-y4)|
1+
k
2
1

=
|(k1x3-k1x4)-(y3-y4)|
1+
k
2
1
．
y3=k2x3+2，y4=k2x4+2，y3-y4=k2（x3-x4）．
h1+h2=
|(k1x3-k1x4)-(y3-y4)|
1+
k
2
1
=
|x3-x4||k1-k2|
1+
k
2
1
．
同理可得x2-4k2x-8=0，|x3-x4|=
(x3+x4)2-4x3x4
=4
k
2
2
+2
，
h1+h2=
4|k1-k2|
k
2
2
+2
1+
k
2
1
，…（12分）
SAMBN=
1
2
|AB|(h1+h2)
=8
(
k
2
1
+2)(
k
2
2
+2)
•|k1-k2|
=8
[2(
k
2
1
+
k
2
2
)+
k
2
1
k
2
2
+4](
k
2
1
+
k
2
2
-2k1k2)
，
∵k1k2=-
3
4
，∴SAMBN=8
[2(
k
2
1
+
k
2
2
)+
9
16
+4](
k
2
1
+
k
2
2
+
3
2
)
，
设t=
k
2
1
+
k
2
2
≥2|k1k2|=
3
2
，
SAMBN=8
(2t+
9
16
+4)(t+
3
2
)
在[
3
2
，+∞)上单调递增，
SAMBN≥8
(3+
9
16
+4)(
3
2
+
3
2
)
=22
3
，
当且仅当t=
3
2
，即{k1，k2}={-
3
2
，
3
2
}时取等号．
∴四边形AMBN面积的最小值为22
3
．…（15分）
点评：本题考查抛物线的方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≥2}，则A∩B=（　　）
A、{2，3}
B、（2，3）
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已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是（　　）
A、（2，4）
B、（-∞，2）
C、（2，+∞）
D、（4，+∞）
在二项式（x-
1
x
）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（　　）
A、-56B、-35
C、35D、56
求函数y=
1
x
与x=1，x=2以及x轴所围成的图形的面积．
填表：
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
角α的弧度数
sinα
cosα
tanα
试探究一次函数y=mx+d（x∈R）的单调性，并证明你的结论．
已知二次函数f（x）的最大值为2，且f（1）=f（3）=0．
（1）求f（x）的解析式；
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1
x
)n展开式中的二项式系数的和比（3a+2b）7展开式的二项式系数的和大128．
（1）求n．
（2）求(x2-
1
x
)n展开式中的系数最大的项和含x7项．

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