Question

16．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x-2）在$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-2，1]
• B． [-2，0]
• C． [-1，1]
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，易得f（x）在（-∞，0）上为减函数，又由若$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$时，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$时f（x-2）的最小值，从而可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数，
当$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$时，x-2∈[-$\frac{3}{2}$，-1]，
故f（x-2）≥f（-1）=f（1），
若$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$时，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，
则当$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$时，|ax+1|≤1恒成立，
∴-1≤ax+1≤1，∴$\frac{-2}{x}$≤a≤0，
∴-2≤a≤0，
故选B．

点评 本题的考点是函数恒成立问题，主要考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件结合偶函数在对称区间上单调性相反，证得f（x）在（-∞，0）上为减函数，进而给出$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$时f（x-2）的最小值，是解答本题的关键．