题目内容

6．设Sn为正项数列{an}的前n项和，a2=3，Sn+1（2Sn+1+n-4Sn）=2nSn，则a25等于（　　）
A．3×223B．3×224C．223D．224

分析 由已知数列递推式可得Sn+1-2Sn=0，则Sn+1=2Sn，得到${S}_{n}={S}_{1}×{2}^{n-1}$，结合a2=3求得S1，得到Sn，再由a25=S25-S24求解．

解答 解：∵Sn+1（2Sn+1+n-4Sn）=2nSn，
∴$2{{S}_{n+1}}^{2}+（n-4{S}_{n}）{S}_{n+1}-2n{S}_{n}=0$，
∴（Sn+1-2Sn）（2Sn+1+n）=0，
∵an＞0，∴2Sn+1+n＞0，则Sn+1-2Sn=0．
∴Sn+1=2Sn，则${S}_{n}={S}_{1}×{2}^{n-1}$，
∴a2=S2-S1=S1=3，则${S}_{n}=3×{2}^{n-1}$．
∴${a}_{25}={S}_{25}-{S}_{24}=3×{2}^{23}$．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用数列的前n项和求数列通项，是中档题．

练习册系列答案
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16．下列命题中正确的有（　　）
①设有一个回归方程$\stackrel{∧}{y}$=2-3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；
②命题p：“?x0∈R，x02-x0-1＞0”的否定￢p“?x∈R，x2-x-1≤0”；
③残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
④用相关指数R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好．
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为单位向量，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的投影为（　　）
A．$\frac{1}{3}$B．-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$C．$\frac{2\sqrt{2}}{3}$D．$\frac{\sqrt{6}}{3}$
14．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，左焦点是F1．
（1）若左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点$Q（{\sqrt{3}，\frac{1}{2}}）$在椭圆E上．求椭圆E的方程；
（2）过原点且斜率为t（t＞0）的直线l1与（1）中的椭圆E交于不同的两点G，H，设B1（0，1），A1（2，0），求四边形A1GB1H的面积取得最大值时直线l1的方程；
（3）过左焦点F1的直线l2交椭圆E于M，N两点，直线l2交直线x=-p（p＞0）于点P，其中p是常数，设$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{M{F_1}}$，$\overrightarrow{PN}=μ\overrightarrow{N{F_1}}$，计算λ+μ的值（用p，a，b的代数式表示）．
1．复数$\frac{1}{1+ai}$（a∈R）在复平面内对应的点在第一象限，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0B．0＜a＜1C．a＞1D．a＜-1
11．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=2，AC⊥BC，D是线段AB上一点．
（1）确定D的位置，使得平面B1CD⊥平面ABB1A1；
（2）若AC1∥平面B1CD，设二面角D-CB1-B的大小为θ，求证θ＜$\frac{π}{3}$．
18．若如图的程序框图运行的结构为S=-$\frac{1}{2}$，则判断框①中可以填入的是（　　）
A．i＞4？B．i≥4？C．i＞3？D．i≥3？
15．已知i是虚数单位，复数$z=\frac{{{{（{1+i}）}^2}+3（{1-i}）}}{2+i}$，若z2+az+b=1+i，求实数a，b的值．
16．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x-2）在$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[-2，1]B．[-2，0]C．[-1，1]D．[-1，0]

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