Question

已知实数m＞0，命题p：方程

x2

m

+

y2

3

=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：y=x+m与圆x²+y²=2有两个交点，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：先根据椭圆的标准方程，及直线和圆的交点的情况和直线、圆的方程联立形成方程组解的关系即可求出命题p，q下的m的取值范围，然后根据p或q为真命题，p且q为假命题知p真q假，或p假q真，分别求出这两种情况下的m的取值范围再求并集即可..

解答： 解：由命题p知m＞3；
由命题q知方程组

y=x+m x2+y2=2

有两个解；
∴x²+（x+m）²=2，即2x²+2mx+m²-2=0有两个不同实数根；
∴△=4m²-8（m²-2）＞0，解得：-2＜m＜2；
又m＞0，∴0＜m＜2；
∴若p或q为真命题，p且q为假命题，则p，q一真一假；
①p真q假时，

m＞3 m≥2

，∴m＞3；
②p假q真时，

0＜m≤3 0＜m＜2

，∴0＜m＜2；
∴实数m的取值范围为（0，2）∪（3，+∞）．

点评：考查椭圆的标准方程，直线和圆交点的情况和直线、圆的方程形成方程组解的情况的关系，以及p或q，p且q真假和p，q真假的关系．