Question

已知x＞0，y＞0，且2x，ab，5y成等差数列，2，a，b，5成等比数列．
（1）求lgx+lgy的最大值；
（2）求

2

x

+

5

y

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式,对数的运算性质,等差数列与等比数列的综合

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）通过等差数列推出x，y的关系式，然后利用基本不等式求解即可．
（2）利用等比数列求出x，y的关系式，然后利用基本不等式求解即可．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）由题意知2x+5y=2ab，ab=2×5=10
∴2x+5y=20…（1分）
∵x＞0，y＞0，∴2x+5y≥2

10xy

即20≥2

10xy

，∴0＜xy≤10…（3分）
∵函数y=lgx在（0，+∞）上是单调递增函数，
∴lg（xy）≤1，即lgx+lgy≤1…（5分）
当且仅当2x=5y且2x+5y=20即x=5，y=2时，取“=”，
∴当x=5，y=2时，lgx+lgy取得最大值为1．…（7分）
（2）∵x＞0，y＞0
∴（

2

x

+

5

y

）（2x+5y）=29+10（

x

y

+

y

x

）≥29+10×2=49…（10分）
即20（

2

x

+

5

y

）≥49
∴

2

x

+

5

y

≥

49

20

…（12分）
当且仅当

x

y

=

y

x

且2x+5y=20即x=y=

20

7

时，取“=”，
∴当x=y=

20

7

时，

2

x

+

5

y

的最小值为

49

20

．…（14分）

点评：本题考查等差数列与等比数列以及对数的运算法则，基本不等式的应用，考查计算能力．