Question

设a为实数，给出命题p：关于x的不等式(

1

2

)|x-1|≥a的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax²+（a-2）x+

9

8

]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可．

解答： 解：命题p：|x-1|≥0，∴(

1

2

)|x-1|≤1，∴a＞1；
命题q：不等式ax2+(a-2)x+

9

8

＞0的解集为R，∴

a＞0 (a-2)2- 9 2 a＜0

，解得

1

2

＜a＜8；
若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；
p真q假时，

a＞1 a≤ 1 2 ，或a≥8

，解得a≥8；
p假q真时，

a≤1 1 2 ＜a＜8

，解得

1

2

＜a≤1；
∴实数a的取值范围为：(

1

2

，1]∪[8，+∞)．

点评：考查指数函数的单调性，空集的概念，对数函数的定义域，一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．