Question

8．若定义在[-2015，2016]上的函数f（x）满足：对于任意x₁，x₂∈[-2015，2015]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2014且x＞0时，有f（x）＞2014，f（x）的最大值、最小值分别为M，N则M+N=（　　）

• A． 2013
• B． 2014
• C． 4026
• D． 4028

Answer 1

分析 根据抽象函数的表达式，令x₁=x₂=0，可求得f（0）=2014；再利用单调性的定义证明函数f（x）在R上为单调递增函数，f（x₁）+f（-x₁）=4028，从而可求M+N．

解答 解：∵对于任意的x₁，x₂∈[-2015，2015]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2014，
∴令x₁=x₂=0，得f（0）=2014，
再令x₁+x₂=0，将f（0）=2014代入可得f（x）+f（-x）=4028．
设x₁＜x₂，x₁，x₂∈[-2015，2015]，
则x₂-x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x_1^）+f（x₁）-2014-f（x₁）=f（x₂-x₁-2014＞0，
 即函数f（x）是递增的，
∴f（x）_max=f（2015），f（x）_min=f（-2015）．
又∵f（2015）+f（-2015）=4028，
∴M+N的值为4028．
故选：D．

点评 本题主要考查函数值的计算，利用赋值法，证明函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．