Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}3-|x|（x≤3）\\{x^2}-8x+15（x＞3）\end{array}$若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-6，6]
• B． [-3，3]∪[5，+∞）
• C． $[{-6，4+\sqrt{6}}]$
• D． $[{-6，6}]∪[{4+\sqrt{6}，+∞}）$

Answer 1

分析 令t=f（m），可得f（t）≥0，画出y=f（x）的图象，可得f（m）的范围，讨论m的范围，解m的不等式，即可所求范围．

解答 解：若f（f（m））≥0，
令t=f（m），可得f（t）≥0，
可得t∈[-3，3]∪[5，+∞），
即f（m）∈[-3，3]∪[5，+∞），
由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}3-|x|（x≤3）\\{x^2}-8x+15（x＞3）\end{array}$，
可得当m≤3时，-3≤3-|m|≤3，
解得-6≤m≤3；
当m＞3时，m²-8m+15=（m-4）²-1≥-1，
由-3≤m²-8m+15≤3，
解得3＜m≤6；
由m²-8m+15≥5，解得m≥4+$\sqrt{6}$（m≤4-$\sqrt{6}$舍去），
综上可得，m的范围是[-6，6]∪[4+$\sqrt{6}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查分段函数的图象和运用，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题．