Question

7．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）图象的一个最高点为（2，$\sqrt{3}$），由这个最高点到相邻的最低点的图象与x轴交于点（6，0）
（1）求这个函数的解析式；
（2）当x∈[0，4]，求f（x）的最大值，最小值，并求出取得最大值、最小值时的x的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得A=$\sqrt{3}$，周期T=$\frac{2π}{ω}$=4（6-2），解得ω代入点的坐标可得φ值，可得解析式；
（2）由x∈[0，4]可得$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，由三角函数的最值可得．

解答 解：（1）由题意可得A=$\sqrt{3}$，周期T=$\frac{2π}{ω}$=4（6-2），
解得ω=$\frac{π}{8}$，故y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
代入点（6，0）可得0=$\sqrt{3}$sin（$\frac{3π}{4}$+φ），
∴$\frac{3π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，结合0＜φ＜2π可得φ=$\frac{5π}{4}$，
∴函数的解析式为y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{5π}{4}$）=-$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）；
（2）∵x∈[0，4]，∴$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴当$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，即x=0或4时，y取最大值-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
当$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=2时，y取最小值-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的图象和解析式，涉及三角函数的最值，属中档题．