Question

在如图1所示的四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC=

π

2

，∠C=

π

6

，AB=BD=2．现将△ABD沿BD翻折，如图2所示．
（Ⅰ）若二面角A-BD-C为直二面角，求证：AB⊥DC；
（Ⅱ）设E为线段BC上的点，当△ABE为等边三角形时，求二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）利用二面角A-BD-C为直二面角，证明AB⊥平面BCD，即可证明AB⊥DC；
（Ⅱ）取BD中点G，连接EG，证明∠ABF为二面角A-BD-C的平面角，再利用余弦定理求求二面角A-BD-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵二面角A-BD-C为直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD
∵AB⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD
∴AB⊥平面BCD
∵DC?平面BCD，∴AB⊥DC；
（Ⅱ）∵CB=2BD=2AB，△ABE是等边三角形，
∴E是BC的中点，
取BD中点G，连接EG，
作BF∥GE，且BF=GE，连接EF，AF，
∴四边形EFBG为平行四边形，
∴BF⊥BD，
∵AB⊥BD，
∴∠ABF为二面角A-BD-C的平面角，且BD⊥平面ABF，
∴BD⊥AF，
∵EF∥BD，
∴EF⊥AF，
∵AB=2，
∴Rt△AEF中，EF=BG=1，AE=2，
∴AF=

3

，
△ABF中，BF=GE=

3

，
∴cos∠ABF=

AB2+BF2-AF2

2AF•BF

=

3

3

，
∴二面角A-BD-C的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查线线垂直，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出空间角是关键，属于中档题．