Question

已知

a

•

b

=0，向量

c

满足（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，|

a

-

b

|=5，|

a

-

c

|=3，则

a

•

c

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由

a

•

b

=0，建立如图所示的直角坐标系．可设

a

=（m，0），

b

=（0，n），

c

=（x，y），由|

a

-

b

|=5，m²+n²=25．记此圆为⊙M．根据向量

c

满足（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，说明点C在⊙M上．
由|

AC

|=|

c

-

a

|=3，可得|

BC

|=|

c

-

b

|=4，过点C分别作CD⊥y轴，CE⊥x轴，垂足分别为D，E．设∠CBD=θ，则∠OAC=θ．可得x=4sinθ=m-3cosθ，

a

•

c

=mx=10sin（2θ-φ）+8，即可得出．

解答： 解：由

a

•

b

=0，建立如图所示的直角坐标系．
可设

a

=（m，0），

b

=（0，n），

c

=（x，y），
∵|

a

-

b

|=5，
∴m²+n²=25．记此圆为⊙M．
∵向量

c

满足（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，
∴x²+y²-mx-ny=0，
化为(x-

m

2

)2+(y-

n

2

)2=

25

4

．
说明点C在⊙M上．
∴|

AC

|=|

c

-

a

|=3，
∴|

BC

|=|

c

-

b

|=4，
过点C分别作CD⊥y轴，CE⊥x轴，垂足分别为D，E．
设∠CBD=θ，则∠OAC=θ．
则x=4sinθ=m-3cosθ，
∵

a

•

c

=mx=4sinθ（4sinθ+3cosθ）
=16sin²θ+12sinθcosθ
=8（1-cos2θ）+6sin2θ
=10sin（2θ-φ）+8≤18．
∴

a

•

c

的最大值为18．
故答案为：18．

点评：本题综合考查了向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系、数量积的性质、三角函数代换等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．