题目内容

如图，已知点A（0，1），点P（x0，y0）（x0＞0）在曲线y=x2上移动，过P点作PB⊥x轴于B，若曲线y=x2在第一象限内把梯形AOBP的面积平分，则P点的坐标为
 
．
考点：定积分在求面积中的应用
专题：计算题,导数的概念及应用
分析：求出梯形AOBP的面积、阴影部分的面积，利用曲线y=x2在第一象限内把梯形AOBP的面积平分，可得结论．
解答： 解：设P（a，a2），则梯形AOBP的面积为
(1+a2)a
2
，
∵阴影部分的面积为S=
∫
a
0
x2dx=
1
3
x3
|
a
0
=
1
3
a3，
∵曲线y=x2在第一象限内把梯形AOBP的面积平分，
∴
1
3
a3=
1
2
•
(1+a2)a
2
，
∴a=
3
，
∴P点的坐标为（
3
，3）．
故答案为：（
3
，3）．
点评：本题考查定积分在求面积中的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）a＞l，证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（-x）；
（Ⅲ）若对任意x1，x2，x1≠x2，且当f（x1）=f（x2）时，有x1+x2＜0，求a的取值范围．
抛物线3y2+2x=0的准线方程为
 
．
如图，设区域D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，向区域D内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域M={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x3}的概率为
 
．
若f（x）=log3（x-1）（x＞1），则f′（2）=
 
．
已知
a
•
b
=0，向量
c
满足（
c
-
a
）•（
c
-
b
）=0，|
a
-
b
|=5，|
a
-
c
|=3，则
a
•
c
的最大值为
 
．
阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-100时，输出x的值为
 
．
若直线y=kx与圆x2+（y-b）2=1的两个交点关于直线3x+y-6=0对称，则
b
k
=
 
．
已知实数x，y满足
x+y-3≤0
x-2y-3≤0
x≥1
，则目标函数z=2x-y的最大值为（　　）
A、0B、3C、4D、6

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