Question

设变量x、y满足约束条件

y-1≥0 x+y-4≤0 y-1≤k(x-1)

，其中k∈R，k＞0，
（1）当k=1时，

y-1

x+1

的最大值为

 

；
（2）若

y-1

x+1

的最大值为

1

2

，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论，
（2）根据

y-1

x+1

的最大值为

1

2

，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：（1）k=1时，作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=

y-1

x+1

，则z的几何意义为动点到定点P（-1，1）的斜率，
则由图象可知CP的斜率最大，
由

x+y-4=0 y=x

，得

x=2 y=2

，即C（2，2），
则z=

y-1

x+1

的最大值为

2-1

2+1

=

1

3

．
 （2）若

y-1

x+1

的最大值为

1

2

，
即

y-1

x+1

=

1

2

，
则y-1=

1

2

（x+1），
由

y-1= 1 2 (x+1) x+y-4=0

，
解得

x= 5 3 y= 7 3

，即C（

5

3

，

7

3

）此时C也在直线y-1=k（x-1）上，
即

7

3

-1=k(

5

3

-1)，
解得k=2．
故答案为：

1

3

，{2}

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．