Question

9．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：x²+y²+4x+2y+1=0的圆心，则（a-2）²+（b-2）²的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 5
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 10

Answer 1

分析 根据题意，把圆M的方程化为标准方程，找出圆心M的坐标和半径r，再把M的坐标代入直线l，得到关于a与b的方程，（a-2）²+（b-2）²可看做（a，b）到（2，2）距离的平方，又点（2，2）到直线2a+b-1=0的距离最小值为点（2，2）到直线2a+b-1=0的距离，故用点到直线的距离公式求出（2，2）到直线2a+b-1=0的距离，平方后即可得到所求式子的最小值．

解答 解：根据题意，圆M的一般方程为：x²+y²+4x+2y+1=0，则其标准方程为（x+2）²+（y+1）²=4，
即圆心M坐标为（-2，-1），半径r=2，
∵直线l：ax+by+1=0过圆M的圆心，
则把M（-2，-1）代入直线l：ax+by+1=0得：-2a-b+1=0，即2a+b-1=0，
（a-2）²+（b-2）²可以表示为直线2a+b-1=0上任意一点（a，b）到点（2，2）的距离的平方，
又由（2，2）到直线2a+b-1=0的距离d=$\frac{|2×2+2-1|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
即直线2a+b-1=0上任意一点到点（2，2）的距离的最小值为$\sqrt{5}$，
则（a-2）²+（b-2）²的最小值为5；
故选：B．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，关键是求出a、b的关系．