Question

11．在铁路建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向，如图，已测得隧道两端点A、B到某一点C的距离分别为b，a且∠ACB=α，∠ABC=β．（提示：sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$）
（1）若a=$\sqrt{3}$-1，b=1，β=75°，求在C点处张角α的大小；
（2）若α=120°，a+b=$\sqrt{3}$，求隧道AB的长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用正弦定理解三角形ABC，得到a，b，α，β的关系
（2）利用余弦定理得到AB与ab的关系式，结合基本不等式求出ab最大值，得到AB的最小值．

解答 解：（1）由正弦定理得到$\frac{b}{sinβ}=\frac{a}{sinα}$，所以sinA=$\frac{asinβ}{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又a＜b⇒A＜B，所以A=$\frac{π}{4}$，张角$α=\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理AB²=a²+b²-2abcosα=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=3-ab，
∵（a+b）²≥4ab，∴ab$≤\frac{3}{4}$，
∴AB²≥3，∴AB的最小值是$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形；熟练运用定理是关键．