题目内容

14．已知函数f（x）=ax3-2x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，则a的取值范围为（　　）
A．（2，+∞）B．（0，$\frac{4\sqrt{6}}{9}$）C．（-∞，-$\frac{4\sqrt{6}}{9}$）D．（$\frac{4\sqrt{6}}{9}$，+∞）

分析 对a进行分类讨论，再由题意可知f（$\frac{4}{3a}$）＞0，从而求出a．

解答 解：当a=0时，函数f（x）=-2x2+1有两个零点，不符合题意，
故a≠0，f'（x）=3ax2-4x=x（3ax-4），
令f'（x）=0得x=0或$x=\frac{4}{3a}$，
由题意知，a＞0，且$f（\frac{4}{3a}）＞0$，解得$a＞\frac{{4\sqrt{6}}}{9}$．
故选：D

点评 本题考查了函数的零点的判断，属于基础题．

练习册系列答案
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（3）x${\;}^{\frac{3}{2}}$+x${\;}^{-\frac{3}{2}}$；
（4）x${\;}^{\frac{3}{2}}$-x${\;}^{-\frac{3}{2}}$．
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