Question

16．点P（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≥1\\ x≥0{，_{\;}}y≥0\end{array}\right.$所表示的区域内，则$\frac{x+y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的取值范围是[1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，化简目标函数利用斜率的范围，求解目标函数的范围即可．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≥1\\ x≥0{，_{\;}}y≥0\end{array}\right.$所表示的区域如图：
则$\frac{x+y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$=$\sqrt{1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}}$，$\frac{y}{x}$∈[0，+∞）．
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$≥2，当且仅当x=y是取等号，则$\frac{x+y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的最大值为：$\sqrt{2}$．
当y=0时，则$\frac{x+y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的最小值为：1．
所以$\frac{x+y}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的取值范围是[1，$\sqrt{2}$]．
故答案为：[1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．