Question

16．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB₁=1，$A{B_1}=\sqrt{3}$．
（1）求证：平面AB₁C⊥平面B₁CB；
（2）求三棱锥A₁-AB₁C的体积．
（3）若点M为线段CC₁上的一动点，则当AM+MB₁和最小时，求A₁到平面AB₁M的距离．

Answer 1

分析 （1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得BB₁⊥AB，BB₁⊥AC，利用AB₁=$\sqrt{A{B}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}}$，解得AB=$\sqrt{2}$，因此AC²+BC²=AB²，可得AC⊥BC，即可证明：平面AB₁C⊥平面B₁CB．
（2）BC⊥AC，平面ACC₁⊥平面ABC，可得B₁C₁为三棱锥B₁-A₁AC的高．可得三棱锥A₁-AB₁C的体积=$\frac{1}{3}×{B}_{1}{C}_{1}$×${S}_{△{A}_{1}AC}$．
（3）如图所示，把侧面CBB₁C₁沿着CC₁展开与侧面ACC₁A₁成一个平面，连接AB₁，与CC₁的交点取做M，即为CC₁的中点．设A₁到平面AB₁M的距离为h．利用$\frac{1}{3}h$${S}_{△A{B}_{1}M}$=$\frac{1}{3}×{B}_{1}{C}_{1}$×${S}_{△AM{A}_{1}}$，即可得出．

解答 （1）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴BB₁⊥AB，BB₁⊥AC，
∴AB₁=$\sqrt{A{B}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}+1}$=$\sqrt{3}$，解得AB=$\sqrt{2}$．
∴AC²+BC²=AB²，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
又BC∩BB₁=B．
∴AC⊥平面B₁CB，又AC?平面AB₁C，
∴平面AB₁C⊥平面B₁CB．
（2）解：∵BC⊥AC，平面ACC₁⊥平面ABC，
∴BC⊥平面ACC₁，$BC\underset{∥}{=}{B}_{1}{C}_{1}$，即B₁C₁为三棱锥B₁-A₁AC的高．
∴三棱锥A₁-AB₁C的体积=$\frac{1}{3}×{B}_{1}{C}_{1}$×${S}_{△{A}_{1}AC}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（3）解：如图所示，把侧面CBB₁C₁沿着CC₁展开与侧面ACC₁A₁成一个平面，连接AB₁，与CC₁的交点取做M，即为CC₁的中点．
AM=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$=|B₁M|，AB₁=$\sqrt{A{B}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}}$=2，
∴${S}_{△A{B}_{1}M}$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
设A₁到平面AB₁M的距离为h．
则$\frac{1}{3}h$${S}_{△A{B}_{1}M}$=$\frac{1}{3}×{B}_{1}{C}_{1}$×${S}_{△AM{A}_{1}}$，
∴h=$\frac{1×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1．

点评 本题考查了空间位置关系、空间距离、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．