Question

4．直线l过点P（2，1），且倾斜角为$\frac{π}{4}$，曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）直线l过点P（2，1），且倾斜角为$\frac{π}{4}$，可得参数方程；曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得普通方程．
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得：3t²+8$\sqrt{2}$t-4=0，可得|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）直线l过点P（2，1），且倾斜角为$\frac{π}{4}$，可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得：3t²+8$\sqrt{2}$t-4=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，t₁t₂=$-\frac{4}{3}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{64×2}{9}-4×（-\frac{4}{3}）}$=$\frac{4\sqrt{11}}{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、参数方程的应用、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．