Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，椭圆中心到直线x+y-b=0的距离为

5

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为45°的直线l和椭圆C交于A，B两点，对于椭圆C上任一点M，若

OM

=λ

OA

+μ

OB

，求λμ的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）利用椭圆的性质，求得a，b即可得出椭圆的方程；
（Ⅱ）根据椭圆与直线的关系，联立方程组，结合方程根与系数的关系求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵e=

c

a

=

3

2

，∴c²=

3

4

a2，
∴b²=a²-c²=

1

4

a2，
∵椭圆中心到直线x+y-b=0的距离为

5

2

2

．
∴d=

b

2

=

5 2

2

，∴b=5，b²=25，a²=4b²=100，
∴椭圆的方程为

x2

100

+

y2

25

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（5

3

，0），
由题意可知AB方程为y=x-5

3

，①
椭圆的方程可化为x²+4y²=100，②
将①代入②消去y得5x²-40

3

x+200=0，③
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=8

3

，x₁x₂=40，
设M（x，y），由

OM

=λ

OA

+μ

OB

得
（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂）=（λx₁+μx₂，λy₁+μy₂）
∴

x=λx1+μx2 y=λy1+μy2

，
又点M在椭圆上，
∴x²+4y²=(λx1+μx2)2+4(λy1+μy2)2
=λ²

x

2 1

+μ2

x

2 2

+2λμx₁x₂+4（λ2

y

2 1

+μ2

y

2 2

+2λμy₁y₂）
=λ²（

x

2 1

+4

y

2 1

）+μ²（

x

2 2

+4

y

2 2

）+2λμ（x₁x₂+4y₁y₂）
=100，④
又A，B在椭圆上，故有

x

2 1

+4

y

2 1

=100，

x

2 2

+4

y

2 2

=100，⑤
而x₁x₂+4y₁y₂=x₁x₂+4（x₁-5

3

）（x2-5

3

）=5x₁x₂-20

3

（x₁+x₂）+300=5×40-20

3

×8

3

+300=20，⑥
将⑤，⑥代入④可得λ²+μ²+

2λμ

5

=1，
∵1=λ2+μ2+

2λμ

5

≥2λμ+

2λμ

5

=

12

5

λμ，
∴λμ≤

5

12

，当且仅当λ=μ时取“=”，则λμ的最大值为

5

12

．

点评：本题主要考查椭圆的方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系及考查学生的运算求解能力，综合性强，属于难题．