Question

设Q是曲线T：xy=1（x＞0）上任意一点，l是曲线T在点Q处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则△OAB的面积（O为坐标原点）（　　）

• A、为定值2
• B、最小值为3
• C、最大值为4
• D、与点Q的位置有关

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：设P（x₀，y₀）为曲线T：y=

1

x

（x＞0）上任一点，过点Q作曲线C的切线l，利用导数可求得切线l的斜率及方程，从而可求得l与两坐标轴交于A，B两点的坐标，继而可求△OAB的面积．

解答： 解：设P（x₀，y₀）为曲线T：y=

1

x

（x＞0）上任一点，则y₀=

1

x0

．
设过曲线C：y=

1

x

上一点Q的切线l的斜率为k，
∵y′=-

1

x2

，∴k=-

1

x02

，
∴切线l的方程为：y-y₀=-

1

x02

（x-x₀），
∴当x=0时，y=

1

x0

+y₀=

2

x0

，即B（0，

2

x0

）；
当y=0时，x=y₀•x₀²+x₀=2x₀，即A（2x₀，0）；
∴S_△OAB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

×|2x₀|•|

2

x0

|=2．
故选：A．

点评：本题考查利用导数求过曲线T：xy=1（x＞0）上一点P的切线l的斜率，考查直线的方程及截距，考查三角形的面积公式，属于中档题．