Question

某象棋比赛规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲、乙每局获胜的概率分别为

2

3

和

1

3

，且各局比赛胜负互不影响．
（1）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；
（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分，即头两局乙胜一局，3、4局连胜，利用相互独立性概率公式，可得结论；
（2）随机变量ξ可能的取值为2，4，6，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分，即头两局乙胜一局，3、4局连胜，
则所求概率为P=

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•

1

3

•

1

3

=

4

81

；
（2）由题意，ξ的取值为2，4，6，则
P（ξ=2）=(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

，P（ξ=4）=

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•(

2

3

)2+

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•(

1

3

)2=

20

81

P（ξ=6）=(

C

1 2

•

1

3

•

2

3

)2=

16

81

，
∴ξ的分布列

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

数学期望Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．

点评：本题考查概率知识，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，正确求概率是关键．