Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，D为AB的中点，且AB₁⊥A₁C
（1）AB₁⊥A₁D；
（2）证明：BC₁∥平面A₁CD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先利用线面垂直的性质，转化成线线垂直，进一步利用线面垂直的判定定理得到线面垂直进一步转化成线线垂直．
（2）直接利用三角形的中位线得到线线平行，利用线面平行的判定定理转化成线面平行．

解答： 证明：（1）如图，∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
又CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD，
由于AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面AB₁，
又AB₁?平面AB₁，CD⊥AB₁，AB₁⊥A₁C，CD∩A₁C=C
所以：AB₁⊥平面A₁CD，
又A₁D?平面A₁CD，
∴AB₁⊥A₁D．
（2）连接AC₁交A₁C于点F，连接C₁B和FD，
∵四边形A₁ACC₁是平行四边形，
F是AC₁的中点，D是AB的中点，
∴在△AC₁B中，FD∥BC₁
又BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理和性质定理，线面平行的判定定理，属于基础题型．