Question

7．已知函数f（x）=x|x-1|+alnx．
（1）当a=-1时，求f（x）在[1，e]上的最大值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-1，x∈[1，e]时，f（x）=x²-x-lnx，求导数，确定单调性，即可求f（x）在[1，e]上的最大值；
（2）当a＞0时，分类讨论求函数f（x）的单调区间；
（3）若f（x）≥0恒成立，分类讨论求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=-1，x∈[1，e]时，f（x）=x²-x-lnx，
∴$f′（x）=\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$≥0，
∴f（x）在[1，e]上的最大值f（e）=e²-e-1；
（2）x≥1，f（x）=x²-x+alnx，a＞0，f′（x）=2x-1+$\frac{a}{x}$＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
0＜x＜1，f′（x）=$\frac{-2{x}^{2}+x+a}{x}$
a≥1，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上单调递增；
0＜a＜1，f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{4}$）上单调递增，（$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{4}$，1）上单调递减；
（3）①a≥0，x≥1，f（x）≥0恒成立
0＜x＜1，a≥1，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；
0＜a＜1，f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{4}$）上单调递增，（$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{4}$，1）上单调递减，不合题意；
a=0，f（x）≥0恒成立；
②a＜0，0＜x＜1，f（x）≥0恒成立
x≥1，f（x）=x²-x+alnx，a＞0，f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-x+a}{x}$，
-1≤a＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，符合题意；
a＜-1，f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$）上单调递减，（$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$，1）上单调递增，不合题意．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确利用导数是关键．