Question

19．设A，B分别是直线y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x和y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x上的两个动点，并且|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{20}$，动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程是$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

Answer 1

分析 设动点P（x，y），再由题意设出A、B的坐标，根据$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，列出坐标之间的关系，再由|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{20}$，向量模的公式，列出关于x和y的关系式，化简后得到所求的轨迹方程．

解答 解：设P（x，y），
由题可令A（x₁，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x₁），B（x₂，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x₂），
∵$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=x}\\{{x}_{1}-{x}_{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}y}\end{array}\right.$
又∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{20}$，
∴（x₁-x₂）²+$\frac{4}{5}$（x₁+x₂）²=20．
∴轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

点评 本题主要考查了求轨迹方程，解题的前提是要求学生对基础知识有相当熟练的把握．