题目内容
8．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C所对的边长，A=60°，且acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，则$\frac{2absinC}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$=-5$\sqrt{3}$．分析 利用正弦定理对acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c化简可求出tanB，利用余弦定理可得$\frac{2absinC}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$=tanC=-tan（A+B）．
解答 解：∵acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sinC，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB-$\frac{1}{2}$sinB=$\frac{3}{5}$（60°+B）=$\frac{3}{5}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB），
∴tanB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∵$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{2ab}$=cosC，∴$\frac{2absinC}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{sinC}{cosC}$=tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$=-5$\sqrt{3}$．
故答案为-5$\sqrt{3}$．
点评 本题考查了正余弦定理的应用及三角函数求值，属于中档题．
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