Question

已知函数f（x）=

3x-m

3x+1

是奇函数；
（1）求m的值；
（2）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）=

3x-m

3x+1

是定义在实数集奇函数，得f（0）=0，从而求得m的值；
（2）直接利用函数单调性的定义加以证明．

解答： （1）解：∵函数f（x）=

3x-m

3x+1

是奇函数，
∴f（0）=

30-m

30+1

=

1-m

2

=0，即m=1；
（2）证明：f(x)=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

．
∵x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2，
∴

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0．
故：f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，考查了利用定义证明函数的单调性，是中档题．