Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAB是等边三角形，AB、CD中点分别为E、F，侧面PAB⊥底面ABCD．
（1）求证：面PAD⊥面PAB；
（2）求证CD⊥平面PEF．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先，证明PE⊥AB，然后，得到PE⊥底面ABCD，最后，通过证明AD⊥平面PAB，得到面PAD⊥面PAB；
（2）首先，得到PE⊥底面ABCD，然后，证得AB⊥平面PEF，再结合AB∥CD，得到CD⊥平面PEF．

解答： 证明：（1）∵E为等边三角形边AB上的中点，
∴PE⊥AB，
又∵面PAB⊥底面ABCD．
∴PE⊥底面ABCD．
∴PE⊥AD，
又AD⊥AB，
∴AD⊥平面PAB，
∴面PAD⊥面PAB；
（2）由（1），得
PE⊥底面ABCD，
EF∥BC，
∴AB⊥EF，
∴AB⊥平面PEF，
又∵AB∥CD，
∴CD⊥平面PEF．

点评：本题重点考查了空间中点线面的位置关系，证明垂直关系时，一定注意等价转化思想的灵活运用．