Question

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，AF=a．
（Ⅰ）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；
（Ⅱ）当a为何值时在DE上存在一点P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的长；若不存在，问题补充．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）通过建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量的夹角即可得到二面角的余弦值；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定定理即可得出．

解答： 解：（1）分别取AB、DF的中点O、G，连接OC、OG．
以直线OB、OC、OG分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AF=a=4，则D、E、F的坐标分别为D（1，0，1）、E（0，

3

，3）、F（-1，0，4），
∴

DE

=（-1，

3

，2），

DF

=（-2，0，3）
设平面DEF的法向量

n

=（x，y，z），则

-x+ 3 y+2z=0 -2x+3z=0

，
令z=6，则

n

=(9，-

3

，6)．
平面ABC的法向量可以取

m

=（0，0，1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

6

81+3+36

=

30

10

．
∴平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为

30

10

．
（2）在（1）的坐标系中，AF=a，

DE

=（-1，

3

，2），

DF

=（-2，0，a-1），C（0，

3

，0）．
因P在DE上，设

DP

=λ

DE

，
则

OP

=

OD

+

DP

=（1-λ，

3

λ，2λ+1）．
∴

CP

═（1-λ，

3

（λ-1），2λ+1）．
于是CP⊥平面DEF的充要条件为

CP • DE =0 CP • DF =0

，得到

λ-1+3(λ-1)+2(2λ+1)=0 ; -2(1-λ)+(a-1)(2λ+1)=0

由此解得，λ=

1

4

，a=2．
即当a=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，使CP⊥平面DEF．此时，|DP|=

1

4

1+3+4

=

2

2

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用两平面的法向量的夹角求二面角的余弦值、线面垂直的判定定理是解题的关键．