Question

设函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax．
（1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）＜g（x）；
（2）记F（x）=f（x）-g（x），求函数F（x）在（0，a]上的最小值（a＞0）．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）将a=2代入，化简不等式，解绝对值不等式即可；
（2）利用x的范围化简F（x），分析系数，确定其在区间的单调性求最值．

解答： 解：（1）当a=2时，不等式为|x-2|＜2x，
解得x＞

2

3

．
（2）F（x）=|x-a|-ax，∵0＜x≤a，
∴F（x）=-（a+1）x+a．∵-（a+1）＜0，
∴函数F（x）在（0，a]上是单调减函数，∴当x=a时，函数F（x）取得最小值为-a²．

点评：本题考查了绝对值不等式的积分以及利用函数的单调性求函数的最值．