Question

18．已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，P为抛物线C上的动点，点Q（0，-1），则$\frac{|PF|}{|PQ|}$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则$\frac{|PF|}{|PQ|}$=$\frac{|PM|}{|PQ|}$=sin∠PQM，故当PQ和抛物线相切时，$\frac{|PF|}{|PQ|}$最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得$\frac{|PF|}{|PQ|}$的最小值．

解答 解：由题意可得，焦点F（0，1），准线方程为y=-1．
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，
则$\frac{|PF|}{|PQ|}$=$\frac{|PM|}{|PQ|}$=sin∠PQM，∠PQM为锐角．
故当∠PQM最小时，$\frac{|PF|}{|PQ|}$最小，
故当PQ和抛物线相切时，$\frac{|PF|}{|PQ|}$最小．
设切点P（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），则PQ的斜率为$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+1}{a}$，
又（$\frac{{x}^{2}}{4}$）′=$\frac{1}{2}$x，即有切线的斜率为$\frac{1}{2}$a，
由$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+1}{a}$=$\frac{1}{2}$a，解得a=±2，可得P（±2，1），
∴|PM|=2，|PQ|=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
即有sin∠PQM=$\frac{|PM|}{|PQ|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，属于中档题．