Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点为F，离心率为

2

3

，短轴长为2

5

，过点F引两直线l₁和l₂，l₁交椭圆于点A和C，l₂交椭圆于B和D．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若|FA|•|FC|=|FB|•|FD|，试求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）根据题意有

c a = 2 3 2b=2 5

，由此能求出椭圆M的方程．
（Ⅱ）设F为椭圆M的右焦点（2，0），当直线l₁的斜率k₁存在时，推导出|FA|•|FC|=

25

9-4cos2θ1

；当l₁的斜率不存在时，|FA|•|FC|=

25

9

，从而得到四边形ABCD的面积为S=

1

2

|AC|•|BD|sin2θ₁=

450sin2θ1

(9-4cos2θ1)2

，由此能求出四边形ABCD的面积的最大值．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）根据题意有

c a = 2 3 2b=2 5

，又a²=b²+c²，
解得a=3，b=

5

，c=2，
∴椭圆M的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．…（5分）
（Ⅱ）不妨设F为椭圆M的右焦点（2，0），
当直线l₁的斜率k₁存在时，l₁的方程为y=k₁（x-2）=k₁x+m，（m=-2k₁） …（1），
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），把（1）代入椭圆的方程，得关于x的一元二次方程：
（5+9k₁²）x²+18mk₁x+9m²-45=0，…（2）
∵x₁，x₂是方程（2）的两个实数解，
∴x1+x2=

-18mk1

5+9k12

，x₁•x₂=

9m2-45

5+9k12

，…（3）
又y₁=k₁（x₁-2），y₂=k₁（x₂-2），
∴|FA|=

(x1 -2)2+(y1 -0)2

=

1+k12

|x₁-2|，
同理|FC|=

1+k12

|x2-2|，
∴|FA|•|FC|=（1+k₁²）|x₁x₂-2（x₁+x₂）+4|，…（4）
把（3）代入（4）得，|FA|•|FC|=（1+k₁²）|

9m2 -45

5+9k12

-2

-18mk1

5+9k12

+4|，…（5）
记θ1 为直线l₁的倾斜角，则k₁=tanθ₁，
由（5）知|FA|•|FC|=

25

9-4cos2θ1

，…（6）
当l₁的斜率不存在时，θ₁=90°，
此时A，C的坐标可为（2，

5

3

）和（2，-

5

3

）或（2，-

5

3

）和（2，

5

3

），
∴|FA|•|FC|=

25

9

，…（7）
由（6）（7）知，当直线l₁的倾斜角为θ₁时，|FA|•|FC|=

25

9-4cos2θ1

，…（8）
同理，记直线l₂的倾斜角为θ₂时，|FB|•|FD|=

25

9-4cos2θ2

 …（9）
由|FA|•|FC|=|FB|•|FD|得，cos²θ₁=cos²θ₂，
0＜θ₁，θ₂＜π，∴θ₁=θ₂或θ₁=π-θ₂，
依题意θ₁≠θ₂，∴θ₁=π-θ₂，
当θ₁≠90°时，|AC|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2 (x1+x2)2-4x1x2

=

1+k12

( -18mk12 5+9k12 -4 9m2-45 5+9k12

=

30(1+k12)

5+9k12

=

30(1+tan2θ1)

5+9tan2θ1

=

30

9-4cos2θ1

，…（10）
当θ₁=90°时，|AC|=2×

5

3

=

10

3

，…（11）
由（10）、（11）知当直线l₁的倾斜角为θ₁时，|AC|=

30

9-4cos2θ1

，…（12）
同理，|BD|=

30

9-4cos2(π-θ1)

=

30

9-4cos2θ1

，…（13）
由（12）、（13）知，四边形ABCD的面积为S=

1

2

|AC|•|BD|sin2θ₁=

450sin2θ1

(9-4cos2θ1)2

，
令g（θ）=

sin2θ

(9-4cos2θ)2

，∵cos²θ=

1+cos2θ

2

，
∴g（θ）=

sin2θ

(7-2cos2θ)2

，
则g′(θ)=(

sin2θ

7-2cos2θ)2

)′
=

2(2cos2θ-1)(cos2θ+4)

(7-2cos2θ)3

，
∵0＜θ＜π，∴0＜2θ＜2π，当0＜2θ＜

π

3

，或

5π

3

＜2θ＜2π时，g′（θ）＞0，
g（θ）递增，当

π

3

≤2θ≤

5π

3

时，g′（x）≤0，g（θ）递减，
∴当2θ=

π

3

，即θ=

π

6

时，g（θ）取最大值，
即g（θ）_max=g（

π

6

）=

3

72

，
∴当θ=

π

6

时，四边形ABCD的面积S_max=

25 3

4

．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数、导数性质的灵活运用．