Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量

m

=（a，c），

n

=（cosC，cosA）．
（1）若

m

∥

n

，c=

3

a，求角A；
（2）若

m

•

n

=3bsinB，cosA=

4

5

，求cosC的值．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理和倍角公式可得sin2A=sin2C．再利用正弦函数的单调性、诱导公式即可得出；
（2）利用向量垂直与数量积的关系、正弦定理、两角和差的余弦公式、同角三角函数基本关系式即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

∥

n

，∴acosA=ccosC．
由正弦定理，得sinAcosA=sinCcosC．
化简，得sin2A=sin2C．
∵A，C∈（0，π），∴2A=2C或2A+2C=π，
从而A=C（舍）或A+C=

π

2

．∴B=

π

2

．
在Rt△ABC中，tanA=

a

c

=

3

3

，A=

π

6

．
（2）∵

m

•

n

=3bcosB，∴acosC+ccosA=3bsinB．
由正弦定理，得sinAcosC+sinCcosA=3sin²B，从而sin（A+C）=3sin²B．
∵A+B+C=π，∴sin（A+C）=sinB． 从而sinB=

1

3

．
∵cosA=

4

5

＞0，A∈（0，π），∴A∈(0，

π

2

)，sinA=

3

5

．
∵sinA＞sinB，∴a＞b，从而A＞B，B为锐角，cosB=

2 2

3

．
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB，
=-

4

5

×

2 2

3

+

3

5

×

1

3

=

3-8 2

15

．

点评：本题综合考查了向量共线定理、倍角公式、正弦函数的单调性、诱导公式、向量垂直与数量积的关系、正弦定理、两角和差的余弦公式、同角三角函数基本关系式等基础知识与基本技能方法，考查了解决问题的能力和计算能力，属于中档题．