Question

已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，

3

（c-acosB）=b（sinA+1）．
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）若a=10，b+c=14，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用正弦定理可得

3

（sinC-sinAcosB）=sinB（sinA-1），再根据sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，求得sin（A-

π

3

）=

1

2

．再结合-

π

3

＜A-

π

3

＜

2π

3

，可得A的值，从而求得sinA的值．
（Ⅱ）由a=10，b+c=14，A=

π

2

 可得 b²+c²=a²=100=（b+c）²-2bc=196-2bc，求得bc的值，可得△ABC的面积为

1

2

bc的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

3

（c-acosB）=b（sinA+1），
∴

3

（sinC-sinAcosB）=sinB（sinA-1）．
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴

3

sinBcosA=sinB（sinA-1），即 sinA-

3

cosA=1，即 sin（A-

π

3

）=

1

2

．
再结合-

π

3

＜A-

π

3

＜

2π

3

，
可得A-

π

3

=

π

6

，A=

π

2

，
∴sinA=1．
（Ⅱ）若a=10，b+c=14，则由A=

π

2

 可得 b²+c²=a²=100=（b+c）²-2bc=196-2bc，∴bc=48，
∴△ABC的面积为

1

2

bc=24．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于较基础题．