Question

设函数f（x）=xlnx．
（I）设F（x）=

1

2

mx ²+f′（x）（m∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅱ）过两点A（x₁，f′（x₁）），B（x₂f′（x₂））（x₁＜x₂）的直线的斜率为k，求证：0＜k＜

1

x1

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求f（x）的导数，然后求导数Fˊ（x），讨论a在函数的定义域内解不等式Fˊ（x）＞0和Fˊ（x）＜0即可求得；
（Ⅱ）运用两点的斜率公式，先证明k＞0，运用分析法证明要证k＜

1

x1

，即证x₁＜

x2-x1

lnx2-lnx1

，等价于证1＜

x2 x1 -1

ln x2 x1

，
令t=

x2

x1

，则只要证1＜

t-1

lnt

，构造g（t）=t-1-lnt（t＞1），证得g（t）递增即可．

解答： （Ⅰ）解：f′（x）=1+lnx，
∴F（x）=

1

2

mx ²+f′（x）=

1

2

mx ²+1+lnx（x＞0）
F′（x）=mx+

1

x

=

mx2+1

x

，
当m≥0时，F′（x）＞0恒成立，在（0，+∞）上递增；
当m＜0，F′（x）＞0得mx²+1＞0，0＜x＜

-1 m

，
F′（x）＜0得mx²+1＜0，x＞

-1 m

，
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上递增；
当a＜0时，F（x）在（0，

，1 m

）上递增，在（

，1 m

，+∞）上递减．
（Ⅱ）证明：k=

f′(x2)-f′(x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

，
∵x₁＜x₂，∴lnx₁＜lnx₂．即k＞0．
要证k＜

1

x1

，即证x₁＜

x2-x1

lnx2-lnx1

，等价于证1＜

x2 x1 -1

ln x2 x1

，
令t=

x2

x1

，则只要证1＜

t-1

lnt

，
由t＞1，lnt＞0，故等价证lnt＜t-1．
设g（t）=t-1-lnt（t＞1），则g′（t）=1-

1

t

＞0，
故g（t）在（1，+∞）上递增．
∴当t＞1时，g（t）＞g（1）=0，
即t-1＞lnt（t＞1）．
∴结论得证．

点评：本题中对函数单调性的分类讨论、构造函数利用导数方法证明不等式都是难点，对综合能力的考查达到了相当的高度．