Question

如图，曲线C由上半椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C₂：y=-x²+1（y≤0）连接而成，C₁与C₂的公共点为A，B，其中C₁的离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）过点B的直线l与C₁，C₂分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（Ⅰ）在C₁、C₂的方程中，令y=0，即得b=1，设C₁：的半焦距为c，由

c

a

=

3

2

及a²-c²=b²=1得a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C₁的方程为

y2

4

+x²=1（y≥0），设其方程为y=k（x-1）（k≠0），代入C₁的方程，整理得（k²+4）x²-2k²x+k²-4=0．（*）设点P（x_p，y_p），依题意，可求得点P的坐标为（

k2-4

k2+4

，

-8k

k2+4

）；同理可得点Q的坐标为（-k-1，-k²-2k），利用

AP

•

AQ

=0，可求得k的值，从而可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）在C₁、C₂的方程中，令y=0，可得b=1，且A（-1，0），B（1，0）是上半椭圆C₁的左右顶点．
设C₁：的半焦距为c，由

c

a

=

3

2

及a²-c²=b²=1得a=2．
∴a=2，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C₁的方程为

y2

4

+x²=1（y≥0）．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x-1）（k≠0），
代入C₁的方程，整理得
（k²+4）x²-2k²x+k²-4=0．（*）
设点P（x_p，y_p），
∵直线l过点B，
∴x=1是方程（*）的一个根，
由求根公式，得x_p=

k2-4

k2+4

，从而y_p=

-8k

k2+4

，
∴点P的坐标为（

k2-4

k2+4

，

-8k

k2+4

）．

同理，由

y=k(x-1)(k≠0) y=-x2+1(y≤0)

得点Q的坐标为（-k-1，-k²-2k），
∴

AP

=

2k

k2+4

（k，-4），

AQ

=-k（1，k+2），
∵AP⊥AQ，∴

AP

•

AQ

=0，即

-2k2

k2+4

[k-4（k+2）]=0，
∵k≠0，∴k-4（k+2）=0，解得k=-

8

3

．
经检验，k=-

8

3

符合题意，
故直线l的方程为y=-

8

3

（x-1），即8x+3y-8=0．

点评：本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．